例えば以下のC#コードだとOpenで例外が投げられる。

var con = new SQLiteConnection();
con.ConnectionString = @"Data Source=\\FileServer\Test.db3;Version=3;";
con.Open();

ネットワークドライブだと大丈夫。で、よくわからないがUNCの最初の”\\”を”\\\\”にすると開けるようになる。

var con = new SQLiteConnection();
con.ConnectionString = @"Data Source=\\\\FileServer\Test.db3;Version=3;";
con.Open();

なんでだろ。後でリファレンス読んでみるか。